Định lý Pitago là một hệ thức cơ bản trong hình học Euclid phát biểu rằng bình phương cạnh huyền của một tam giác vuông bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông. Công thức khoảng cách là một cách tính khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng tọa độ bằng cách sử dụng định lý Pythagore. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ giải thích hai khái niệm này có liên quan như thế nào và cách sử dụng chúng trong các tình huống khác nhau.
Định lý Pytago là gì?
Định lý Pytago được đặt tên theo tên của người Hy Lạp nhà triết học và toán học Pythagoras, sống vào khoảng thế kỷ thứ 6 trước Công nguyên. Theo truyền thuyết, ông đã phát hiện ra định lý này bằng cách quan sát các mẫu gạch trên sàn của một ngôi đền. Có thể phát biểu định lý như sau:
Trong mọi tam giác vuông, bình phương độ dài cạnh huyền (cạnh đối diện với góc vuông) bằng tổng bình phương độ dài cạnh huyền (cạnh đối diện với góc vuông) hai bên.
Về mặt toán học, chúng ta có thể viết điều này như sau:
$$a^2 + b^2=c^2$$
trong đó $a $ và $b$ là độ dài của cạnh góc vuông (cạnh góc vuông) và $c$ là độ dài của cạnh huyền.
Định lý Pitago có thể được chứng minh bằng nhiều cách, sử dụng hình học , đại số hoặc giải tích. Một trong những cách chứng minh đơn giản nhất dựa trên việc sắp xếp lại bốn bản sao của một tam giác vuông thành hai hình vuông khác nhau, như minh họa bên dưới:
Diện tích của mỗi hình vuông bằng bình phương độ dài cạnh của nó. Do đó, ta có:
$$c^2=(a + b)^2$$
Mở rộng và rút gọn phương trình này, ta được:
$$c^2=a^2 + b^2 + 2ab$$
Trừ cả hai vế của $2ab$, ta được:
$$c^2 – 2ab=a^2 + b^2$$
Cuối cùng, chia cho 2, ta có:
$$\frac{c^2}{2} – ab=\frac{ a^2}{2} + \frac{b^2}{2}$$
Phương trình này cho thấy diện tích của hình vuông màu trắng trong hình bằng tổng diện tích của các hai hình vuông nhỏ hơn trên chân. Điều này chứng minh định lý Pitago.
Công thức khoảng cách là gì?
Công thức khoảng cách là một cách tìm khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng tọa độ bằng cách sử dụng đại số và định lý Pitago. Giả sử chúng ta có hai điểm $P(x_1, y_1)$ và $Q(x_2, y_2)$ trong hệ tọa độ Descartes. Chúng ta có thể vẽ một tam giác vuông với các điểm này là các đỉnh, như hình dưới đây:
Cạnh ngang của tam giác này có độ dài bằng hiệu giữa tọa độ x của $P$ và $Q$, là $x_2 – x_1$. Chân thẳng đứng có độ dài bằng hiệu giữa tọa độ y của $P$ và $Q$, là $y_2 – y_1$. Cạnh huyền có độ dài bằng khoảng cách giữa $P$ và $Q$, chúng ta ký hiệu là $d$. Sử dụng định lý Pitago, chúng ta có thể viết:
$$(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2=d^2$$
Lấy căn bậc hai của cả hai bên, chúng tôi nhận được:
$$d=\sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$$
Đây là khoảng cách công thức. Nó cho thấy rằng chúng ta có thể tính khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ trong một mặt phẳng bằng cách sử dụng tọa độ của chúng và áp dụng một số phép toán số học cơ bản.
Chúng có liên quan như thế nào?
Định lý Pythagore và định lý Pitago công thức khoảng cách có liên quan với nhau vì cả hai đều sử dụng bình phương và căn bậc hai để biểu thị các mối quan hệ hình học. Định lý Pythagore áp dụng cho bất kỳ tam giác vuông nào, trong khi công thức khoảng cách áp dụng cho bất kỳ cặp điểm nào trong mặt phẳng. Công thức khoảng cách có thể được coi là một trường hợp đặc biệt của định lý Pitago khi chúng ta xét một tam giác vuông có các đỉnh được cho bởi tọa độ.
Định lý Pitago và công thức khoảng cách là những công cụ hữu ích để giải nhiều bài toán trong toán học , vật lý, kỹ thuật, và các lĩnh vực khác. Ví dụ: chúng ta có thể sử dụng chúng để tìm độ dài của một đường chéo của hình chữ nhật, chiều cao của một tòa nhà, tốc độ của một vật thể chuyển động, góc nghiêng hoặc lõm, diện tích hình tròn, v.v.
Ví dụ
Dưới đây là một số ví dụ về cách sử dụng định lý Pitago và công thức khoảng cách trong các tình huống khác nhau.
Ví dụ 1: Tìm độ dài một đường chéo của một Hình chữ nhật
Giả sử chúng ta có một hình chữ nhật có các cạnh dài 12 cm và 9 cm. Độ dài đường chéo của nó là bao nhiêu?
Chúng ta có thể vẽ một tam giác vuông bên trong hình chữ nhật, như hình bên dưới:
Đường chéo là cạnh huyền của tam giác này và chiều dài của nó được biểu thị bằng $d$. Sử dụng định lý Pitago, chúng ta có thể viết:
$$d^2=12^2 + 9^2$$
Rút gọn, ta có:
$$d^2=144 + 81$$
Cộng lại, ta có:
$$d^2=225$$
Lấy căn bậc hai của cả hai vế, ta có:
$$d=\sqrt{225}$$
Rút gọn, ta có:
$$d=15$ $
Do đó, độ dài của đường chéo là 15 cm.
Hoặc, chúng ta có thể sử dụng công thức khoảng cách để tìm câu trả lời tương tự. Chúng ta có thể gán tọa độ cho các đỉnh của hình chữ nhật, chẳng hạn như $A(0, 0)$, $B(12, 0)$, $C(12, 9)$ và $D(0, 9)$. Sau đó, chúng ta có thể sử dụng công thức khoảng cách để tìm khoảng cách giữa $A$ và $C$, bằng với đường chéo. Ta có:
$$d=\sqrt{(12 – 0)^2 + (9 – 0)^2}$$
Rút gọn, ta có:
$$d=\sqrt{144 + 81}$$
Cộng và lấy căn bậc hai, ta được:
$$d=\sqrt{225} $$
Rút gọn, ta có:
$$d=15$$
Vậy độ dài đường chéo là 15 cm.
Ví dụ 2: Tìm chiều cao của một tòa nhà
Giả sử chúng ta muốn tìm chiều cao của một tòa nhà bằng cách sử dụng máy đo độ nghiêng. Máy đo độ nghiêng là một thiết bị đo góc độ cao hoặc độ sâu. Chúng tôi đứng tại một điểm $P$ trên mặt đất cách chân tòa nhà 50 m. Chúng tôi hướng máy đo độ nghiêng ở phía trên cùng của tòa nhà và đo góc nâng là 30°. Chiều cao của tòa nhà là bao nhiêu?
Giải:
Chúng ta có thể vẽ một tam giác vuông với $P$ là một đỉnh và đáy và đỉnh của tòa nhà là hai đỉnh còn lại , như hình bên dưới:
Chiều cao của tòa nhà bằng với chiều dài của cạnh thẳng đứng của tam giác này, chúng ta ký hiệu là $h$. Chân nằm ngang có chiều dài bằng khoảng cách từ $P$ đến chân tòa nhà là 50 m. Góc đối diện với chân này bằng với góc nâng được đo bằng máy đo độ nghiêng, là 30°. Sử dụng lượng giác, chúng ta có thể viết:
$$\tan(30°)=\frac{h}{50}$$
Nhân cả hai vế với 50, ta được:
$$50\tan(30°)=h$$
Sử dụng máy tính hoặc bảng giá trị lượng giác, chúng ta có thể thấy rằng $\tan(30°) \approx 0,577$. Thay giá trị này vào phương trình, chúng ta có:
$$50\times0,577=h$$
Nhân lên, chúng ta có:
$$28,85 \approx h$$
Làm tròn đến một chữ số thập phân, ta được:
$$28,9 \approx h$$
Do đó, chiều cao của tòa nhà xấp xỉ 28,9 m.
Hoặc, chúng ta có thể sử dụng định lý Pythagore để tìm
câu trả lời tương tự. Chúng ta có thể tìm
độ dài
cạnh huyền
của
tam giác,
mà
p>
chúng tôi biểu thị
bởi
$d$,
sử dụng
cosin
của
góc
của
độ cao.
Ta có:
$$\cos(30 °)=\frac{50}{d}$$
Nhân cả hai vế với $d$, ta có:
$$d\cos(30°)=50$ $
Chia cả hai vế cho $\cos(30°)$ , ta được:
$$d=\frac{50}{\cos(30°)}$$
Sử dụng máy tính bỏ túi hoặc bảng giá trị lượng giác,
ta có thể tìm được $\cos(30.
