Ang Pythagorean theorem ay isang pangunahing ugnayan sa Euclidean geometry na nagsasaad na ang parisukat ng hypotenuse ng isang right triangle ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng iba pang dalawang panig. Ang formula ng distansya ay isang paraan ng pagkalkula ng distansya sa pagitan ng dalawang puntos sa isang coordinate plane gamit ang Pythagorean theorem. Sa artikulong ito, ipapaliwanag namin kung paano nauugnay ang dalawang konseptong ito at kung paano gamitin ang mga ito sa magkaibang sitwasyon.
Ano ang Pythagorean Theorem?
Ang Pythagorean theorem ay ipinangalan sa Greek pilosopo at matematiko na si Pythagoras, na nabuhay noong ika-6 na siglo BC. Ayon sa alamat, natuklasan niya ang teorama na ito sa pamamagitan ng pagmamasid sa mga pattern ng mga tile sa sahig ng isang templo. Ang teorama ay maaaring sabihin tulad ng sumusunod:
Sa alinmang kanang tatsulok, ang parisukat ng haba ng hypotenuse (ang gilid sa tapat ng tamang anggulo) ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng haba ng isa dalawang panig.
Sa matematika, maaari nating isulat ito bilang:
$$a^2 + b^2=c^2$$
kung saan $a Ang $ at $b$ ay ang haba ng mga binti (ang mga gilid na katabi ng kanang anggulo) at $c$ ang haba ng hypotenuse.
Ang Pythagorean theorem ay maaaring mapatunayan sa maraming paraan, gamit ang geometry , algebra, o calculus. Isa sa mga pinakasimpleng patunay ay batay sa muling pagsasaayos ng apat na kopya ng right triangle sa dalawang magkaibang parisukat, tulad ng ipinapakita sa ibaba:
Ang lugar ng bawat parisukat ay katumbas ng parisukat ng haba ng gilid nito. Samakatuwid, mayroon tayong:
$$c^2=(a + b)^2$$
Pagpapalawak at pagpapasimple sa equation na ito, nakukuha natin ang:
$$c^2=a^2 + b^2 + 2ab$$
Pagbabawas ng $2ab$ mula sa magkabilang panig, makakakuha tayo ng:
$$c^2 – 2ab=a^2 + b^2$$
Sa wakas, paghahati sa 2, makukuha natin ang:
$$\frac{c^2}{2} – ab=\frac{ a^2}{2} + \frac{b^2}{2}$$
Ang equation na ito ay nagpapakita na ang lugar ng puting parisukat sa figure ay katumbas ng kabuuan ng mga lugar ng dalawang mas maliit na parisukat sa mga binti. Pinatutunayan nito ang Pythagorean theorem.
Ano ang Distance Formula?
Ang pormula ng distansya ay isang paraan ng paghahanap ng distansya sa pagitan ng dalawang punto sa isang coordinate plane gamit ang algebra at ang Pythagorean theorem. Ipagpalagay na mayroon tayong dalawang puntos na $P(x_1, y_1)$ at $Q(x_2, y_2)$ sa isang Cartesian coordinate system. Maaari tayong gumuhit ng tamang tatsulok na may mga puntong ito bilang mga vertice, tulad ng ipinapakita sa ibaba:
Ang pahalang na binti ng tatsulok na ito ay may haba na katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng mga x-coordinate ng $P$ at $Q$, na $x_2 – x_1$. Ang patayong binti ay may haba na katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng mga y-coordinate ng $P$ at $Q$, na $y_2 – y_1$. Ang hypotenuse ay may haba na katumbas ng distansya sa pagitan ng $P$ at $Q$, na tinutukoy namin ng $d$. Gamit ang Pythagorean theorem, maaari nating isulat ang:
$$(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2=d^2$$
Pagkuha ng square root sa magkabilang panig, nakukuha natin ang:
$$d=\sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$$
Ito ang distansya pormula. Ipinapakita nito na maaari nating kalkulahin ang distansya sa pagitan ng alinmang dalawang punto sa isang eroplano sa pamamagitan ng paggamit ng kanilang mga coordinate at paglalapat ng ilang mga pangunahing operasyon ng arithmetic.
Paano Naiuugnay ang mga Ito?
Ang Pythagorean theorem at ang magkaugnay ang formula ng distansya dahil pareho silang gumagamit ng mga parisukat at square root upang ipahayag ang mga geometric na relasyon. Ang Pythagorean theorem ay nalalapat sa anumang right triangle, habang ang distance formula ay nalalapat sa anumang pares ng mga punto sa isang eroplano. Ang formula ng distansya ay makikita bilang isang espesyal na kaso ng Pythagorean theorem kapag isinasaalang-alang natin ang isang right triangle na ang vertices ay ibinibigay ng mga coordinate.
Ang Pythagorean theorem at ang distance formula ay mga kapaki-pakinabang na tool para sa paglutas ng maraming problema sa matematika , physics, engineering, at iba pang larangan. Halimbawa, maaari nating gamitin ang mga ito upang mahanap ang haba ng isang dayagonal ng isang parihaba, ang taas ng isang gusali, ang bilis ng isang gumagalaw na bagay, ang anggulo ng elevation o depression, ang lugar ng isang bilog, at marami pa.
Mga Halimbawa
Narito ang ilang halimbawa kung paano gamitin ang Pythagorean theorem at ang formula ng distansya sa iba’t ibang sitwasyon.
Halimbawa 1: Paghahanap ng Haba ng isang Diagonal ng isang Parihaba
Ipagpalagay na mayroon tayong parihaba na may mga gilid na 12 cm at 9 cm. Ano ang haba ng dayagonal nito?
Maaari tayong gumuhit ng tamang tatsulok sa loob ng parihaba, tulad ng ipinapakita sa ibaba:
Ang dayagonal ay ang hypotenuse ng tatsulok na ito, at ang haba nito ay tinutukoy ng $d$. Gamit ang Pythagorean theorem, maaari nating isulat ang:
$$d^2=12^2 + 9^2$$
Pagpapasimple, makukuha natin ang:
$$d^2=144 + 81$$
Pagdaragdag, makakakuha tayo ng:
$$d^2=225$$
Pagkuha ng square root sa magkabilang panig, nakukuha namin ang:
$$d=\sqrt{225}$$
Pagpapasimple, nakukuha namin ang:
$$d=15$ $
Samakatuwid, ang haba ng dayagonal ay 15 cm.
Bilang kahalili, maaari nating gamitin ang formula ng distansya upang mahanap ang parehong sagot. Maaari kaming magtalaga ng mga coordinate sa vertices ng rectangle, gaya ng $A(0, 0)$, $B(12, 0)$, $C(12, 9)$, at $D(0, 9)$. Pagkatapos, maaari nating gamitin ang formula ng distansya upang mahanap ang distansya sa pagitan ng $A$ at $C$, na katumbas ng dayagonal. Mayroon kaming:
$$d=\sqrt{(12 – 0)^2 + (9 – 0)^2}$$
Pagpapasimple, nakukuha namin ang:
$$d=\sqrt{144 + 81}$$
Pagdaragdag at pagkuha ng square root, makukuha natin ang:
$$d=\sqrt{225} $$
Sa pagpapasimple, makakakuha tayo ng:
$$d=15$$
Samakatuwid, ang haba ng dayagonal ay 15 cm.
Halimbawa 2: Paghahanap ng Taas ng Gusali
Ipagpalagay na gusto nating hanapin ang taas ng isang gusali sa pamamagitan ng paggamit ng clinometer. Ang clinometer ay isang aparato na sumusukat sa mga anggulo ng elevation o depression. Nakatayo kami sa isang puntong $P$ sa patag na lupa na 50 m ang layo mula sa base ng gusali. Itinuturo namin ang clinometer sa tuktok ng gusali at sinusukat ang isang anggulo ng elevation na 30°. Ano ang taas ng gusali?
Solusyon:
Maaari tayong gumuhit ng right triangle na may $P$ bilang isang vertex at ang base at tuktok ng gusali bilang ang iba pang dalawang vertices , gaya ng ipinapakita sa ibaba:
Ang taas ng gusali ay katumbas ng haba ng patayong paa ng tatsulok na ito, na tinutukoy namin ng $h$. Ang pahalang na paa ay may haba na katumbas ng distansya mula $P$ hanggang sa base ng gusali, na 50 m. Ang anggulo sa tapat ng binti na ito ay katumbas ng anggulo ng elevation na sinusukat ng clinometer, na 30°. Gamit ang trigonometry, maaari nating isulat ang:
$$\tan(30°)=\frac{h}{50}$$
Pag-multiply ng magkabilang panig sa 50, makukuha natin ang:
$$50\tan(30°)=h$$
Gamit ang isang calculator o isang talahanayan ng mga trigonometrikong halaga, makikita natin na $\tan(30°) \approx 0.577$. Ang pagpapalit ng halagang ito sa equation, makakakuha tayo ng:
$$50\times0.577=h$$
Multiply, makakakuha tayo ng:
$$28.85 \approx h$$
Pag-ikot sa isang decimal place, nakukuha namin ang:
$$28.9 \approx h$$
Samakatuwid, ang taas ng gusali ay humigit-kumulang 28.9 m.
Bilang kahalili, maaari nating gamitin ang Pythagorean theorem upang mahanap
ang parehong sagot. Mahahanap natin
ang haba ng
ang hypotenuse
ng
ang tatsulok,
na
p>
tinutukoy namin
ni
$d$,
gamit
ang cosine
ng
ang anggulo
ng
elevation.
Mayroon kaming:
$$\cos(30 °)=\frac{50}{d}$$
Pag-multiply ng magkabilang panig sa $d$, makakakuha tayo ng:
$$d\cos(30°)=50$ $
Paghati sa magkabilang panig sa $\cos(30°)$ , makuha namin ang:
$$d=\frac{50}{\cos(30°)}$$
Gamit ang isang calculator o isang talahanayan ng mga trigonometrikong halaga,
makikita natin na $\cos(30.
