Pythagoreas teorem er en grunnleggende relasjon i euklidisk geometri som sier at kvadratet på hypotenusen til en rettvinklet trekant er lik summen av kvadratene til de to andre sidene. Avstandsformelen er en måte å beregne avstanden mellom to punkter i et koordinatplan ved å bruke Pythagoras teorem. I denne artikkelen vil vi forklare hvordan disse to begrepene henger sammen og hvordan de kan brukes i ulike situasjoner.
Hva er Pythagoras teorem?
Pythagorean-setningen er oppkalt etter det greske filosof og matematiker Pythagoras, som levde rundt 600-tallet f.Kr. I følge legenden oppdaget han denne teoremet ved å observere mønstrene til fliser på gulvet i et tempel. Teoremet kan angis som følger:
I enhver rettvinklet trekant er kvadratet av lengden på hypotenusen (siden motsatt den rette vinkelen) lik summen av kvadratene av lengdene til den andre to sider.
Matematisk kan vi skrive dette som:
$$a^2 + b^2=c^2$$
hvor $a $ og $b$ er lengdene på bena (sidene ved siden av den rette vinkelen) og $c$ er lengden på hypotenusen.
Pythagorean-setningen kan bevises på mange måter ved å bruke geometri , algebra eller kalkulus. Et av de enkleste bevisene er basert på å omorganisere fire kopier av en rettvinklet trekant i to forskjellige firkanter, som vist nedenfor:
Arealet til hver rute er lik kvadratet på sidelengden. Derfor har vi:
$$c^2=(a + b)^2$$
For å utvide og forenkle denne ligningen får vi:
$$c^2=a^2 + b^2 + 2ab$$
Hvis vi trekker $2ab$ fra begge sider, får vi:
$$c^2 – 2ab=a^2 + b^2$$
Til slutt, dividert med 2, får vi:
$$\frac{c^2}{2} – ab=\frac{ a^2}{2} + \frac{b^2}{2}$$
Denne ligningen viser at arealet av den hvite firkanten i figuren er lik summen av arealene til to mindre firkanter på bena. Dette beviser Pythagoras teorem.
Hva er Avstandsformelen?
Avstandsformelen er en måte å finne avstanden mellom to punkter i et koordinatplan ved å bruke algebra og Pythagoras teorem. Anta at vi har to punkter $P(x_1, y_1)$ og $Q(x_2, y_2)$ i et kartesisk koordinatsystem. Vi kan tegne en rettvinklet trekant med disse punktene som hjørner, som vist nedenfor:
Den horisontale delen av denne trekanten har en lengde lik forskjellen mellom x-koordinatene til $P$ og $Q$, som er $x_2 – x_1$. Det vertikale benet har en lengde lik forskjellen mellom y-koordinatene til $P$ og $Q$, som er $y_2 – y_1$. Hypotenusen har en lengde lik avstanden mellom $P$ og $Q$, som vi betegner med $d$. Ved å bruke Pythagoras teorem kan vi skrive:
$$(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2=d^2$$
Ta kvadratroten av begge sider får vi:
$$d=\sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$$
Dette er avstanden formel. Den viser at vi kan beregne avstanden mellom to punkter i et plan ved å bruke koordinatene deres og bruke noen grunnleggende aritmetiske operasjoner.
Hvordan henger de sammen?
Pythagoreas teorem og avstandsformler henger sammen fordi de både bruker kvadrater og kvadratrøtter for å uttrykke geometriske sammenhenger. Pythagoras teoremet gjelder for enhver rettvinklet trekant, mens avstandsformelen gjelder for et hvilket som helst par av punkter i et plan. Avstandsformelen kan sees på som et spesialtilfelle av Pythagoras teorem når vi tar i betraktning en rettvinklet trekant hvis toppunkter er gitt av koordinater.
Pythagoreas teorem og avstandsformelen er nyttige verktøy for å løse mange problemer i matematikk , fysikk, ingeniørfag og andre felt. For eksempel kan vi bruke dem til å finne lengden på en diagonal i et rektangel, høyden på en bygning, hastigheten til et objekt i bevegelse, høyde-eller forsenkningsvinkelen, arealet av en sirkel og mange flere.
Eksempler
Her er noen eksempler på hvordan du bruker Pythagoras teorem og avstandsformelen i forskjellige situasjoner.
Eksempel 1: Finne lengden på en diagonal til en Rektangel
Anta at vi har et rektangel med sider på 12 cm og 9 cm. Hva er lengden på diagonalen?
Vi kan tegne en rettvinklet trekant inne i rektangelet, som vist nedenfor:
Diagonalen er hypotenusen til denne trekanten, og lengden er angitt med $d$. Ved å bruke Pythagoras teorem kan vi skrive:
$$d^2=12^2 + 9^2$$
Forenklet får vi:
$$d^2=144 + 81$$
Ved å legge til får vi:
$$d^2=225$$
Ta kvadratroten av begge sider får vi:
$$d=\sqrt{225}$$
Forenklet får vi:
$$d=15$ $
Derfor er lengden på diagonalen 15 cm.
Alternativt kan vi bruke avstandsformelen for å finne det samme svaret. Vi kan tildele koordinater til hjørnene til rektangelet, for eksempel $A(0, 0)$, $B(12, 0)$, $C(12, 9)$ og $D(0, 9)$. Deretter kan vi bruke avstandsformelen til å finne avstanden mellom $A$ og $C$, som er lik diagonalen. Vi har:
$$d=\sqrt{(12 – 0)^2 + (9 – 0)^2}$$
Forenklet får vi:
$$d=\sqrt{144 + 81}$$
Hvis vi legger til og tar kvadratroten, får vi:
$$d=\sqrt{225} $$
For å forenkle får vi:
$$d=15$$
Derfor er lengden på diagonalen 15 cm.
Eksempel 2: Finne høyden på en bygning
Anta at vi ønsker å finne høyden på en bygning ved å bruke et klinometer. Et klinometer er en enhet som måler høyde-eller depresjonsvinkler. Vi står på et punkt $P$ på jevnt underlag som er 50 m unna bygningens fot. Vi peker klinometeret mot toppen av bygningen og måler en høydevinkel på 30°. Hva er høyden på bygningen?
Løsning:
Vi kan tegne en rettvinklet trekant med $P$ som en toppunkt og basen og toppen av bygningen som de to andre toppunktene , som vist nedenfor:
Høyden på bygningen er lik lengden på det vertikale benet til denne trekanten, som vi betegner med $h$. Det horisontale benet har en lengde som er lik avstanden fra $P$ til bunnen av bygningen, som er 50 m. Vinkelen motsatt av dette benet er lik høydevinkelen målt av klinometeret, som er 30°. Ved å bruke trigonometri kan vi skrive:
$$\tan(30°)=\frac{h}{50}$$
Ved å gange begge sider med 50 får vi:
$$50\tan(30°)=h$$
Ved hjelp av en kalkulator eller en tabell med trigonometriske verdier kan vi finne at $\tan(30°) \ca. 0,577$. Ved å erstatte denne verdien i ligningen, får vi:
$50$\ ganger 0,577=h$$
Multiplikering får vi:
$$28,85 \ca. h$$
Rundes av til én desimal får vi:
$$28,9 \ca. h$$
Derfor er høyden på bygningen ca. 28,9 m.
Alternativt kan vi bruke Pythagoras teorem for å finne
det samme svaret. Vi kan finne
lengden av
hypotenusen
til
trekanten,
som
p>
vi angir
ved
$d$,
ved å bruke
cosinus
av
vinkelen
av
høyde.
Vi har:
$$\cos(30 °)=\frac{50}{d}$$
Ved å multiplisere begge sider med $d$ får vi:
$$d\cos(30°)=50$ $
Ved å dele begge sider med $\cos(30°)$ får vi:
$$d=\frac{50}{\cos(30°)}$$
Ved å bruke en kalkulator eller en tabell med trigonometriske verdier,
kan vi finne at $\cos(30.
