ピタゴラスの定理は、直角三角形の斜辺の二乗が他の 2 辺の二乗の和に等しいというユークリッド幾何学の基本的な関係式です。距離公式は、ピタゴラスの定理を使用して座標平面内の 2 点間の距離を計算する方法です。この記事では、これら 2 つの概念がどのように関連し、さまざまな状況でどのように使用するかを説明します。
ピタゴラスの定理とは何ですか?
ピタゴラスの定理は、ギリシャ語にちなんで名付けられました。紀元前6世紀頃に生きた哲学者で数学者のピタゴラス。伝説によると、彼は寺院の床のタイルのパターンを観察してこの定理を発見しました。定理は次のように言えます。
どの直角三角形でも、斜辺 (直角の反対側の辺) の長さの 2 乗は、他の直角三角形の長さの 2 乗の和に等しい。
数学的には、これは次のように書くことができます。
$$a^2 + b^2=c^2$$
ここで、$a $ と $b$ は脚 (直角に隣接する辺) の長さ、$c$ は斜辺の長さです。
ピタゴラスの定理は、幾何学を使用してさまざまな方法で証明できます。 、代数、または微積分。最も単純な証明の 1 つは、以下に示すように、直角三角形の 4 つのコピーを 2 つの異なる正方形に再配置することに基づいています:
各正方形の面積は、その辺の長さの二乗に等しくなります。したがって、次のようになります。
$$c^2=(a + b)^2$$
この方程式を拡張して単純化すると、次のようになります。
$$c^2=a^2 + b^2 + 2ab$$
両辺から $2ab$ を引くと、次のようになります。
$$c^2 – 2ab=a^2 + b^2$$
最後に 2 で割ると、次のようになります。
$$\frac{c^2}{2} – ab=\frac{ a^2}{2} + \frac{b^2}{2}$$
この方程式は、図の白い正方形の面積が、脚に小さな正方形が 2 つあります。これはピタゴラスの定理を証明します。
距離の公式とは何ですか?
距離の公式は、代数とピタゴラスの定理を使用して座標平面内の 2 点間の距離を求める方法です。デカルト座標系に $P(x_1, y_1)$ と $Q(x_2, y_2)$ という 2 つの点があるとします。以下に示すように、これらの点を頂点として直角三角形を描くことができます:
-Formula-1.png)
この三角形の水平脚の長さは、$P$ と $Q$ の x 座標の差、つまり $x_2 – x_1$ に等しいです。垂直脚の長さは、$P$ と $Q$ の y 座標の差、つまり $y_2 – y_1$ に等しいです。斜辺の長さは $P$ と $Q$ の間の距離に等しく、$d$ で表します。ピタゴラスの定理を使用すると、次のように書くことができます。
$$(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2=d^2$$
平方根を求める
$$d=\sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$$
これは距離です方式。これは、平面上の任意の 2 点間の距離を、それらの座標を使用し、基本的な算術演算を適用することで計算できることを示しています。
それらはどのように関係していますか?
ピタゴラスの定理と距離公式は、幾何学的関係を表現するために平方と平方根を使用するため、関連しています。ピタゴラスの定理は任意の直角三角形に適用され、距離公式は平面内の任意の点のペアに適用されます。頂点が座標によって与えられる直角三角形を考える場合、距離の公式はピタゴラスの定理の特殊なケースとして見ることができます。
ピタゴラスの定理と距離の公式は、数学の多くの問題を解決するための有用なツールです。 、物理学、工学、その他の分野。たとえば、それらを使用して、長方形の対角線の長さ、建物の高さ、移動する物体の速度、仰角または俯角、円の面積などを見つけることができます。 p>
例
ここでは、ピタゴラスの定理と距離公式をさまざまな状況で使用する方法の例をいくつか示します。
例 1: の対角線の長さを求める長方形
一辺の長さが 12 cm と 9 cm の長方形があるとします。対角線の長さはどれくらいですか?
以下に示すように、長方形の中に直角三角形を描くことができます:
対角線はこの三角形の斜辺であり、その長さは $d$ で示されます。ピタゴラスの定理を使用すると、次のように書くことができます。
$$d^2=12^2 + 9^2$$
単純化すると、次のようになります。
$$d^2=144 + 81$$
追加すると、次のようになります。
$$d^2=225$$
平方根を求める両辺を合計すると、次のようになります。
$$d=\sqrt{225}$$
単純化すると、次のようになります。
$$d=15$ $
したがって、対角線の長さは 15 cm です。
あるいは、距離の公式を使用して同じ答えを求めることもできます。 $A(0, 0)$、$B(12, 0)$、$C(12, 9)$、$D(0, 9)$ などの座標を四角形の頂点に割り当てることができます。次に、距離公式を使用して、対角線に等しい $A$ と $C$ の間の距離を求めることができます。
$$d=\sqrt{(12 – 0)^2 + (9 – 0)^2}$$
単純化すると、次のようになります。
$$d=\sqrt{144 + 81}$$
平方根を加算して求めると、次のようになります。
$$d=\sqrt{225} $$
単純化すると、次のようになります。
$$d=15$$
したがって、対角線の長さは 15 cm です。
例 2: 建物の高さを調べる
傾斜計を使用して建物の高さを調べたいとします。傾斜計は仰角または俯角を測定する装置です。私たちは建物の基礎から 50 m 離れた平地上の点 $P$ に立っています。傾斜計を建物の頂上に向けて、仰角 30° を測定します。建物の高さはどれくらいですか?
解決策:
$P$ を 1 つの頂点とし、建物の底辺と上部を他の 2 つの頂点とする直角三角形を描くことができます。 、以下に示すように:
建物の高さは、この三角形の垂直脚の長さに等しく、これを $h$ で表します。水平脚の長さは、$P$ から建物の基礎までの距離 (50 m) に等しいです。この脚の反対側の角度は、傾斜計で測定した仰角と同じ 30°です。三角法を使用すると、次のように書くことができます。
$$\tan(30°)=\frac{h}{50}$$
両辺に 50 を掛けると、次のようになります。
$$50\tan(30°)=h$$
電卓または三角関数の値の表を使用すると、$\tan(30°) \約 0.577$ であることがわかります。 。この値を方程式に代入すると、次のようになります。
$$50\times0.577=h$$
乗算すると、次のようになります。
$$28.85 \about h$$
小数点第 1 位を四捨五入すると、次のようになります。
$$28.9 \およそ h$$
したがって、建物の高さは約 28.9 になります。 m.
あるいは、ピタゴラスの定理を使用して、
同じ答えを見つけることもできます。
三角形の
斜辺
の長さ
を見つけることができます。
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我々は
コサインを
$d$で
表します
の
角度
の
仰角。
次のものがあります:
$$\cos(30 °)=\frac{50}{d}$$
両辺に $d$ を掛けると、次のようになります。
$$d\cos(30°)=50$ $
両辺を $\cos(30°)$ で割ると、次のようになります。
$$d=\frac{50}{\cos(30°)}$$
電卓または三角関数の値の表を使用すると、
$\cos(30.