El teorema de Pitágoras es una relación fundamental en la geometría euclidiana que establece que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados. La fórmula de la distancia es una forma de calcular la distancia entre dos puntos en un plano de coordenadas utilizando el teorema de Pitágoras. En este artículo explicaremos cómo se relacionan estos dos conceptos y cómo utilizarlos en diferentes situaciones.

¿Qué es el Teorema de Pitágoras?

El teorema de Pitágoras recibe su nombre del griego filósofo y matemático Pitágoras, que vivió alrededor del siglo VI a. Según la leyenda, descubrió este teorema al observar los patrones de los azulejos en el suelo de un templo. El teorema se puede enunciar de la siguiente manera:

En cualquier triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes del otro dos lados.

Matemáticamente, podemos escribir esto como:

$$a^2 + b^2=c^2$$

donde $a $ y $b$ son las longitudes de los catetos (los lados adyacentes al ángulo recto) y $c$ es la longitud de la hipotenusa.

El teorema de Pitágoras se puede probar de muchas maneras, usando la geometría , álgebra o cálculo. Una de las pruebas más sencillas se basa en reorganizar cuatro copias de un triángulo rectángulo en dos cuadrados diferentes, como se muestra a continuación:

![Prueba pitagórica](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d2/Pythagorean.svg/220px-Pythagorean.svg.png)

El área de cada cuadrado es igual al cuadrado de la longitud de sus lados. Por lo tanto, tenemos:

$$c^2=(a + b)^2$$

Expandiendo y simplificando esta ecuación, obtenemos:

$$c^2=a^2 + b^2 + 2ab$$

Restando $2ab$ de ambos lados, obtenemos:

$$c^2 – 2ab=a^2 + b^2$$

Finalmente, dividiendo por 2, obtenemos:

$$\frac{c^2}{2} – ab=\frac{ a^2}{2} + \frac{b^2}{2}$$

Esta ecuación muestra que el área del cuadrado blanco en la figura es igual a la suma de las áreas de los dos cuadrados más pequeños en las piernas. Esto prueba el teorema de Pitágoras.

¿Qué es la fórmula de la distancia?

La fórmula de la distancia es una forma de encontrar la distancia entre dos puntos en un plano de coordenadas usando álgebra y el teorema de Pitágoras. Supongamos que tenemos dos puntos $P(x_1, y_1)$ y $Q(x_2, y_2)$ en un sistema de coordenadas cartesianas. Podemos dibujar un triángulo rectángulo con estos puntos como vértices, como se muestra a continuación:

![Fórmula de distancia](https://www.storyofmathematics.com/wp-content/uploads/2020/06/Distance-Formula-1.png)

El cateto horizontal de este triángulo tiene una longitud igual a la diferencia entre las coordenadas x de $P$ y $Q$, que es $x_2 – x_1$. El lado vertical tiene una longitud igual a la diferencia entre las coordenadas y de $P$ y $Q$, que es $y_2 – y_1$. La hipotenusa tiene una longitud igual a la distancia entre $P$ y $Q$, que denotamos por $d$. Usando el teorema de Pitágoras, podemos escribir:

$$(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2=d^2$$

Sacar la raíz cuadrada de ambos lados, obtenemos:

$$d=\sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$$

Esta es la distancia fórmula. Muestra que podemos calcular la distancia entre dos puntos cualesquiera en un plano usando sus coordenadas y aplicando algunas operaciones aritméticas básicas.

¿Cómo se relacionan?

El teorema de Pitágoras y el Las fórmulas de distancia están relacionadas porque ambas usan cuadrados y raíces cuadradas para expresar relaciones geométricas. El teorema de Pitágoras se aplica a cualquier triángulo rectángulo, mientras que la fórmula de la distancia se aplica a cualquier par de puntos en un plano. La fórmula de la distancia puede verse como un caso especial del teorema de Pitágoras cuando consideramos un triángulo rectángulo cuyos vértices están dados por coordenadas.

El teorema de Pitágoras y la fórmula de la distancia son herramientas útiles para resolver muchos problemas matemáticos , física, ingeniería y otros campos. Por ejemplo, podemos usarlos para encontrar la longitud de una diagonal de un rectángulo, la altura de un edificio, la velocidad de un objeto en movimiento, el ángulo de elevación o depresión, el área de un círculo y muchos más.

Ejemplos

Aquí hay algunos ejemplos de cómo usar el teorema de Pitágoras y la fórmula de la distancia en diferentes situaciones.

Ejemplo 1: Encontrar la longitud de una diagonal de un Rectángulo

Supongamos que tenemos un rectángulo con lados de 12 cm y 9 cm de largo. ¿Cuál es la longitud de su diagonal?

Podemos dibujar un triángulo rectángulo dentro del rectángulo, como se muestra a continuación:

![Diagonal del rectángulo](https://www.storyofmathematics.com/wp-content/uploads/2020/06/Rectangle-Diagonal.png)

La diagonal es la hipotenusa de este triángulo, y su longitud se indica con $d$. Usando el teorema de Pitágoras, podemos escribir:

$$d^2=12^2 + 9^2$$

Simplificando, obtenemos:

$$d^2=144 + 81$$

Al sumar, obtenemos:

$$d^2=225$$

Sacar la raíz cuadrada de ambos lados, obtenemos:

$$d=\sqrt{225}$$

Simplificando, obtenemos:

$$d=15$ $

Por lo tanto, la longitud de la diagonal es de 15 cm.

Alternativamente, podemos usar la fórmula de la distancia para encontrar la misma respuesta. Podemos asignar coordenadas a los vértices del rectángulo, como $A(0, 0)$, $B(12, 0)$, $C(12, 9)$ y $D(0, 9)$. Luego, podemos usar la fórmula de la distancia para encontrar la distancia entre $A$ y $C$, que es igual a la diagonal. Tenemos:

$$d=\sqrt{(12 – 0)^2 + (9 – 0)^2}$$

Simplificando, obtenemos:

$$d=\sqrt{144 + 81}$$

Sumando y sacando la raíz cuadrada, obtenemos:

$$d=\sqrt{225} $$

Simplificando, obtenemos:

$$d=15$$

Por lo tanto, la longitud de la diagonal es de 15 cm.

Ejemplo 2: Encontrar la altura de un edificio

Supongamos que queremos encontrar la altura de un edificio usando un clinómetro. Un clinómetro es un dispositivo que mide ángulos de elevación o depresión. Nos encontramos en un punto $P$ a nivel del suelo que está a 50 m de la base del edificio. Apuntamos el clinómetro a la parte superior del edificio y medimos un ángulo de elevación de 30°. ¿Cuál es la altura del edificio?

Solución:

Podemos dibujar un triángulo rectángulo con $P$ como un vértice y la base y la parte superior del edificio como los otros dos vértices , como se muestra a continuación:

![Altura del edificio](https://www.storyofmathematics.com/wp-content/uploads/2020/06/Building-Height.png)

La altura del edificio es igual a la longitud del cateto vertical de este triángulo, que denotamos por $h$. El lado horizontal tiene una longitud igual a la distancia de $P$ a la base del edificio, que es de 50 m. El ángulo opuesto a este cateto es igual al ángulo de elevación medido por el clinómetro, que es de 30°. Usando trigonometría, podemos escribir:

$$\tan(30°)=\frac{h}{50}$$

Multiplicando ambos lados por 50, obtenemos:

$$50\tan(30°)=h$$

Usando una calculadora o una tabla de valores trigonométricos, podemos encontrar que $\tan(30°) \approx 0.577$. Sustituyendo este valor en la ecuación, obtenemos:

$$50\times0.577=h$$

Al multiplicar, obtenemos:

$$28.85 \approx h$$

Redondeando a un decimal, obtenemos:

$$28,9 \approx h$$

Por lo tanto, la altura del edificio es de aproximadamente 28,9 m.

Alternativamente, podemos usar el teorema de Pitágoras para encontrar

la misma respuesta. Podemos encontrar

la longitud de

la hipotenusa

del

triángulo,

que

denotamos

por

$d$,

usando

el coseno

del

ángulo

de

elevación.

Tenemos:

$$\cos(30 °)=\frac{50}{d}$$

Multiplicando ambos lados por $d$, obtenemos:

$$d\cos(30°)=50$ $

Dividiendo ambos lados por $\cos(30°)$ , obtenemos:

$$d=\frac{50}{\cos(30°)}$$

Usando una calculadora o una tabla de valores trigonométricos,

podemos encontrar que $\cos(30.